Pecahan (Fraksi) Biner

Pecahan (fraksi) bilangan Biner menggunakan prinsip besaran yang sama dengan bilangan desimal kecuali bahwa setiap digit biner menggunakan sistem penomoran basis-2.

Kita tahu dalam tutorial sebelumnya tentang Bilangan Biner bahwa bilangan desimal (atau denary) menggunakan sistem penomoran basis sepuluh (basis-10) di mana setiap digit dalam angka desimal diizinkan untuk mengambil satu dari sepuluh nilai yang mungkin dalam kisaran 0 hingga 9.

Jadi, saat pindah dari kanan ke kiri sepanjang bilangan desimal, setiap digit akan memiliki nilai sepuluh kali lebih besar dari digit di sebelah kanannya. Tetapi juga setiap digit sepuluh kali lebih besar dari angka sebelumnya saat kita bergerak dari kanan ke kiri, setiap digit juga bisa sepuluh kali lebih kecil dari angka sebelahnya saat kita bergerak dalam arah yang berlawanan dari kiri ke kanan.

Namun, begitu kita mencapai nol (0) dan titik desimal, kita tidak perlu berhenti begitu saja, tetapi dapat terus bergerak dari kiri ke kanan sepanjang digit yang menghasilkan apa yang umumnya disebut Bilangan Pecahan (fraksi).

Nomor Pecahan Khas

Di sini, dalam contoh nomor/angka desimal (atau denary) ini, angka yang berada tepat di sebelah kanan titik desimal (angka 5) bernilai sepersepuluh (1/10 atau 0,1) dari angka tepat di sebelah kiri titik desimal (angka 4) ) yang sebagai nilai perkalian satu (1).

Jadi ketika kita bergerak melalui angka dari kiri ke kanan, setiap digit berikutnya akan menjadi sepersepuluh nilai digit segera ke posisi kirinya, dan seterusnya.

Kemudian sistem penomoran desimal menggunakan konsep nilai besaran posisi atau relatif yang menghasilkan notasi posisi, di mana setiap digit mewakili nilai besaran yang berbeda tergantung pada posisi yang ditempati kedua sisi titik desimal.

Jadi secara matematis dalam sistem penomoran denary standar, nilai-nilai ini umumnya ditulis sebagai: 40, 31, 22, 13 untuk setiap posisi di sebelah kiri titik desimal pada contoh kami di atas. Demikian juga, untuk bilangan pecahan di sebelah kanan titik desimal, besar bilangan tersebut menjadi lebih negatif: 5-1, 6-2, 7-3 dll.

Jadi kita dapat melihat bahwa setiap digit dalam sistem desimal standar menunjukkan besarnya atau besar digit itu dalam angka. Maka nilai dari setiap angka desimal akan sama dengan jumlah digitnya dikalikan dengan besar masing-masing, jadi untuk contoh kita di atas: N = 1234.56710 dalam format desimal tertimbang ini akan sama juga:

1000 + 200 + 30 + 4  + 0.5 + 0.06 + 0.007 = 1234.56710

atau dapat ditulis untuk mencerminkan besar setiap digit denary:

(1×1000) + (2×100) + (3×10) + (4×1) + (5×0.1) + (6×0.01) + (7×0.001) = 1234.56710

atau bahkan dalam bentuk polinomial seperti:

(1×103) + (2×102) + (3×101) + (4×100) + (5×10-1) + (6×10-2) + (7×10-3) = 1234.56710

Kita juga dapat menggunakan gagasan notasi posisi di mana setiap digit mewakili nilai tertimbang yang berbeda tergantung pada posisi yang ditempati dalam sistem penomoran biner.

Perbedaan kali ini adalah bahwa sistem bilangan biner (atau bilangan biner sederhana) adalah sistem posisional, di mana posisi besaran yang berbeda dari digit adalah dengan kekuatan 2 (basis-2), bukan 10.

Pecahan (fraksi) Biner

Sistem penomoran biner adalah sistem penomoran basis-2 yang hanya berisi dua digit, "0" atau "1". Jadi setiap digit dari angka biner dapat mengambil nilai "0" atau "1" dengan posisi 0 atau 1 yang menunjukkan nilai atau besarnya.

Tetapi kita juga dapat memiliki besaran biner untuk nilai kurang dari 1 yang menghasilkan apa yang disebut bilangan biner pecahan yang tidak bertanda.

Mirip dengan pecahan desimal, bilangan biner juga dapat direpresentasikan sebagai bilangan pecahan tak bertanda dengan menempatkan digit biner di sebelah kanan titik desimal atau dalam kasus ini, bilangan biner.

Dengan demikian semua digit pecahan di sebelah kanan titik biner memiliki besar masing-masing yang merupakan kekuatan negatif dari dua, menciptakan pecahan biner. Dengan kata lain, kekuatan 2 negatif.

Jadi untuk bilangan biner pecahan di sebelah kanan titik biner, besar setiap digit menjadi lebih negatif: 2-1, 2-2, 2-3, 2-4, dan seterusnya seperti yang ditunjukkan.

Pecahan (fraksi) Biner

dll.

Jadi jika kita mengambil pecahan biner dari 0,10112 maka besaran posisional untuk masing-masing digit diperhitungkan dengan memberikan angka desimal setara dari:

Untuk contoh ini, konversi pecahan desimal angka biner 0,10112 adalah 0,687510.

Contoh Pecahan Biner No.1

Sekarang mari kita anggap kita memiliki nomor biner berikut: 1101.01112, apa yang akan menjadi angka desimal yang setara.

1101.0111

= (1×23) + (1×22) + (0×21) + (1×20) + (0×2-1) + (1×2-2) + (1×2-3) + (1×2-4)

= 8 + 4 + 0  + 1 + 0 + 1/4 + 1/8  + 1/16

= 8 + 4 + 0  + 1 + 0 + 0.25 + 0.125  + 0.0625 = 13.437510

Oleh karena itu angka ekuivalen desimal 1101.01112 diberikan sebagai: 

13.437510

Jadi kita dapat melihat bahwa bilangan biner pecahan, yaitu bilangan biner yang memiliki besar kurang dari 1 (20), dapat dikonversi menjadi angka desimal yang setara dengan berturut-turut membagi pecahan besar biner dengan nilai dua untuk setiap penurunan kekuatan 2, mengingat juga bahwa 20 sama dengan 1, dan bukan nol.

Contoh Pecahan Biner Lainnya

0.11 = (1×2-1) + (1×2-2) = 0.5 + 0.25 = 0.7510

11.001 = (1×21) + (1×20) + (1×2-3) = 2 + 1 + 0.125 = 3.12510

1011.111 = (1×23) + (1×21) + (1×20) (1×2-1) + (1×2-2) + (1×2-3)

= 8 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 = 11.87510

Mengkonversi Desimal ke Pecahan Biner

Konversi pecahan desimal menjadi angka biner pecahan dicapai dengan menggunakan metode yang sama dengan yang kami gunakan untuk bilangan bulat.

Namun, penggandaan waktu ini digunakan sebagai pengganti pembagian dengan bilangan bulat, bukan sisa yang digunakan dengan carry digit menjadi ekuivalen biner dari bagian pecahan dari angka desimal.

Ketika mengkonversi dari desimal ke biner, bagian integer (urutan positif dari kanan ke kiri) dan bagian pecahan (urutan negatif dari kiri ke kanan) dari angka desimal dihitung secara terpisah.

Untuk bilangan bulat dari angka tersebut, ekuivalen biner ditemukan dengan membagi secara berurutan (dikenal sebagai pembagian berurutan) bagian bilangan bulat bilangan desimal berulang kali dengan 2 (÷2), mencatat sisa dalam urutan terbalik dari bit paling tidak signifikan (LSB ) ke bit paling signifikan (MSB), hingga nilainya menjadi "0" menghasilkan setara biner.

Jadi untuk menemukan ekuivalen/setara biner dari bilangan bulat desimal: 11810

118 (bagi dengan 2) = 59 ditambah sisanya 0 (LSB)

59 (bagi dengan 2) = 29 ditambah sisanya 1 (↑)

29 (bagi dengan 2) = 14 ditambah sisanya 1 (↑)

14 (bagi dengan 2) = 7 ditambah sisanya 0 (↑)

7 (bagi dengan 2) = 3 ditambah sisa 1 (↑)

3 (bagi dengan 2) = 1 ditambah sisa 1 (↑)

1 (bagi dengan 2) = 0 ditambah sisanya 1 (MSB)

Maka ekuivalen biner dari 11810 adalah:

11101102 ← (LSB)

Bagian pecahan angka ditemukan dengan mengalikan secara berturut-turut (dikenal sebagai perkalian berturut-turut) bagian pecahan yang diberikan angka desimal berulang kali dengan 2 (×2), mencatat membawa dalam urutan ke depan, hingga nilainya menjadi "0" menghasilkan biner setara.

Jadi jika proses multiplikasi menghasilkan produk lebih besar dari 1, carry adalah "1" dan jika proses multiplikasi menghasilkan produk kurang dari "1", carry adalah "0".

Perhatikan juga bahwa jika proses perkalian berturut-turut tampaknya tidak menuju nol akhir, bilangan pecahan akan memiliki panjang tak hingga atau sampai jumlah bit yang setara diperoleh, misalnya 8-bit. atau 16-bit, dll. tergantung pada tingkat akurasi yang diperlukan.

Jadi untuk menemukan pecahan biner yang setara dengan pecahan desimal: 0,812510

0,8125 (dikalikan dengan 2) = 1.625 = 0,625 carry 1 (MSB)

0,625 (dikalikan dengan 2) = 1.25 = 0,25 carry 1 (↓)

0,25 (kalikan dengan 2) = 0,50 = 0,5, carry 0 (↓)

0,5 (dikalikan dengan 2) = 1,00 = 0,0 carry 1 (LSB)

Dengan demikian, ekuivalen biner 0,812510 adalah:

 0,11012 ← (LSB)

Kita dapat memeriksa jawaban ini menggunakan prosedur di atas untuk mengkonversi pecahan biner menjadi angka desimal yang setara:

0,1101 = 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 0,812510

Contoh Pecahan Biner No.2

Temukan pecahan biner yang ekuivalen/setara dengan angka desimal berikut: 54,6875

Pertama-tama kita mengonversi bilangan bulat 54 ke angka biner dengan cara normal menggunakan pembagian berurutan dari atas.

54 (bagi dengan 2) = 27 sisanya 0 (LSB)

27 (bagi dengan 2) = 13 sisanya 1 (↑)

13 (bagi dengan 2) = 6 sisanya 1 (↑)

6 (bagi dengan 2) = 3 sisanya 0 (↑)

3 (bagi dengan 2) = 1 sisanya 1 (↑)

1 (bagi dengan 2) = 0 sisanya 1 (MSB)

Karenanya, ekuivalen biner dari 5410 adalah: 1101102

Selanjutnya kita mengonversi pecahan desimal 0,6875 menjadi pecahan biner menggunakan perkalian berturut-turut.

0,6875 (kalikan dengan 2) = 1.375 = 0,375 carry 1 (MSB)

0,375 (kalikan dengan 2) = 0.75 = 0,75 carry 0 (↓)

0,75 (kalikan dengan 2) = 1, 50 = 0,5 carry 1 (↓)

0,5 (dikalikan dengan 2) = 1, 00 = 0,0 carry 1 (LSB)

Dengan demikian, persamaan biner dari 0,687510 adalah:

0,10112 ← (LSB)

Karenanya, ekuivalen biner dari angka desimal: 54,687510  adalah

110110,10112

Ringkasan Pecahan Biner

Kita telah melihat di sini dalam tutorial ini tentang Pecahan Biner yang mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biner yang setara (ekuivalen), kita harus mengalikan bagian pecahan desimal, dan hanya bagian pecahan desimal dengan 2 dan mencatat angka yang muncul di sebelah kiri biner. titik. Digit biner ini yang merupakan digit carry SELALU akan berupa "0" atau "1".

Kita kemudian harus mengalikan pecahan desimal yang tersisa dengan 2 lagi mengulangi urutan di atas menggunakan perkalian berturut-turut sampai pecahan dikurangi menjadi nol atau jumlah bit biner yang diperlukan telah selesai untuk pecahan biner berulang. Angka pecahan diwakili oleh kekuatan negatif 2.

Untuk bilangan desimal campuran, kita harus melakukan dua operasi terpisah. Pembagian berturut-turut untuk bagian bilangan bulat di sebelah kiri titik desimal dan perkalian berturut-turut untuk bagian pecahan di sebelah kanan titik desimal.

Perhatikan bahwa bagian bilangan bulat dari angka desimal campuran akan selalu memiliki angka biner yang persis sama tetapi bagian pecahan desimal mungkin tidak, karena kita bisa mendapatkan pecahan berulang yang menghasilkan angka biner digit tak terbatas jika kita ingin mewakili pecahan desimal dengan tepat .